11.1. Примеры | Контрольные работы по математике и другим предметам!

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) – вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами – границами интервалов:

· операция “сложения”:

[a₁, a₂] ( ) [b₁, b₂] = [a₁ b₁, a₂ b₂], (2)

· операция “вычитания”:

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ – b₂, a₂ – b₁], (3)

· операция “умножения”:

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], (4)

· операция “деления”:

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (5)

· операция “возведения в степень”:

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ]. (6)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

· действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

· сумма треугольных чисел есть треугольное число;

· треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

· сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

· сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это позволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a₁, b₁, c₁) (a₂, b₂, c₂) º (a₁ a₂, b₁ b₂, c₁ c₂) (7)

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.

Примеры задач по нечетким множествам.

Вариант 1

Найдите сумму, разность, произведение, частное двух нечетких треугольных чисел A=(1,4,6), B=(3,6,9).

Вариант 2.

Решить уравнение (А-В)*х³ = С.

А = (4,7,9), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

Вариант 3.

Найдите сумму, разность, произведение, частное треугольного числа A=(3,6,7) и трапезоидного числа B=(1,3,5,11).

Вариант 4.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «люди среднего возраста» и «не студенты». Построить график этой функции принадлежности.

Вариант 5.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число очень близкое к 2» и «далекое от 5». Построить график этой функции принадлежности.

Вариант 6.

Решить уравнение (А В)*х² = С.

А = (1,3,4), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

Вариант 7.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «заработок близкий к 10 т.р.» и «заработок далекий от прожиточного минимума». Построить график этой функции принадлежности

Вариант 8.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число достаточно близкое к 4» и «далекое от 10». Построить график этой функции принадлежности.

Метод анализа иерархий

Оценку вариантов решений методом анализа иерархий покажем на иллюстративном примере «Переправа через реку».

1. Требуется определить: оставить на реке паромную переправу или вместо нее построить мост или туннель.

2. Возможные решения оцениваются по трем критериям: экономическому, социальному, и экологическому. Каждый критерий оценивается по критериям низкого уровня.

3. Структурный граф процесса принятия решения с указанием уровня иерархий и оценками и -, указывающими, способствует или препятствует данный фактор решению задачи, показан на рис.1 Возможные варианты решений определены в постановке задачи.

4. Значения критериев первого уровня показаны в табл. 1.а и 1.б.

Таблица 1.a

Таблица 1.b

Не будем обсуждать, каким образом получены значения «весов» критериев. Будем считать, что ЛПР (лицо, принимающее решения) определили их и ввел в систему поддержки принятия решений в соответствии со своими предпочтениями.

Таблица2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Необходимо сопоставить предпочтения ЛПР на последнем уровне.

Обозначим все пути, в частности, дуги l_ij через p( l_ij). Для таблиц типа 10.1.a

p( l_ij) = (1)

для таблицы 1.a m_A (AB1)=1, m_A (AB2)=0.75, m_A (AB3)=0.25. Система поддержки принятия решений находит p( АВ1)=0.5, p( АВ2)=0.36, p( АВ3)=0.13.

Определение веса критерия, когда производится попарное сравнение весов (значимости) различных критериев, так ка это сделано в табл. 1.b, 5, 2. Сложность заключается в несогласованности оценок. Самым точным методом является нахождение главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором приоритетов. Рассмотрим более простой метод. Представим количественные сравнения пар объектов матрицей А=(а_ij), (i,j =1,2,…..,n), где а_ij показывает оценку отношения между i-м и j-м объектами. Элементы матрицы обладают следующими свойствами: если а_ij=b, то а_ji=1/b, a_ii=1. Суммируем элементы каждой строки и нормализуем делением каждой суммы на сумму элементов. Сумма полученных результатов будет равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет весом приоритета первого объекта, второй – второго и т.д. Так как это показано в таблице 6, при использовании табл. 1.b и значений лингвистических переменных табл.7.

Рис. 1

Таблица 5.

Таблица 6.

Таблица 7.

p( АВ1)=0.53, p( АВ2)=0.31, p( АВ3)=0.15.

Аналогично СППР находит веса приоритетов второго уровня. p(В1С1)=0.38, p(В1С2)=0.38, p( B1C3)=0.19; p( В1C4)=0.5,

p( B2C5)=0.61, p( В2C6)=0.19, p(В2C7)=0.20, p(В3C8)=0.8,

p( В3C9)=0.2.

Таблица 8.

Таблица 9.

Таблица 10.

Таблица 11.

Таблица 12.

Веса приоритетов второго уровня в графе являются уточнением влияния соответствующих факторов на принятие решения. Но они представляют интерес только с учетом весов первого уровня. Для нахождения весов путей, состоящих из дуг превого и второго уровней надо умножить вес дуги первого уровня на веса примыкающих к ней дуг второго уровня. Т.о. вес пути из дуг первого и второго уровней:

p( l_1i , l_ij) = p( l_1i) ´ p( l_ij),

где l_{1i –} дуга первого уровня, l_ij – дуга второго уровня (i=1,….,n), (j=1,…..,m).

Аналогично рассчитываются веса дуг следующих уровней.

p(AB1C1)= p(AB1)´ p(B1C1) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C2)= p(AB1)´ p(B1C2) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C3)= p(AB1)´ p(B1C3) = 0.53´0.19=0.10

p(AB1C4)= p(AB1)´ p(B1C4) = 0.53´0.05=0.03

p(AB2C5)= p(AB2)´ p(B2C5) = 0.31´0.61=0.19

p(AB2C6)= p(AB2)´ p(B2C6) = 0.31´0.19=0.06

p(AB2C7)= p(AB2)´ p(B2C7) = 0.31´0.21=0.07

p(AB3C8)= p(AB3)´ p(B3C8) = 0.15´0.8=0.12

p(AB3C9)= p(AB3)´ p(B3C9) = 0.15´0.2=0.03

Оценка решений есть результат умножения матрицы весов дуг последнего уровня на вектор весов приоритетов вершин предпоследнего уровня графа.

= ,

где p(l_ij) – вес дуги, связывающей вершину i с вершиной последующего уровня j, p(l_1r, l_rj) –вес дуги, оканчивающейся в j-ой вершине предпоследнего уровня графа, фактически вес пути в графе, начинающийся с исходной вершины и кончающийся в j-ой вершине предпоследнего уровня. c(Dp) – вес p-ой конечной вершины (p-го варианта решения).

Если эксперту удалось свести задачу выбора лучшего решения к иерархической, то можно использовать описанный метод.

3.7 Задания для самостоятельного решения

Вариант 1

Отдел кадров сузил поиск будущего сотрудника до трех кандидатур: Сергей (S), Женя (J) и Михаил (M). Конечный отбор основан на трех критериях: собеседование (С), опыт работы (О) и рекомендации (Р). Отдел кадров использует матрицу А (приведенную ниже для сравнения трех критериев. После проведен собеседования с тремя претендентами, сбор данных относящихся к опыту их работы и рекомендациям. Построены матрицы А_с, А_о и А_р. Кого из трех кандидатов следует принять на работу? Оценить согласованность данных.

Вариант 2

Костя и Динара Печкины (К и Д) покупают новый дом. Рассматриваются три варианта А, В, С. Печкины согласовали два критерия для выбора дома: площадь зеленой лужайки (Л) и близость к месту работы (Б), а также разработали матрицы сравнений, приведенные ниже. Необходимо оценить три дома в порядке их приоритета и вычислить коэффициент согласованности каждой матрицы.

Вариант 3

Найти веса распределения энергии для нескольких крупных потребителей в соответствии с их общим вкладом в различные цели общества.

Есть три крупных потребителя США: Бытовое потребление (С1), Транспорт (С2) и промышленность (С3). Они составляют низший уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются потребителя, являются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность. Они составляют торой уровень. Матрицы попарных сравнений приведены ниже.

Вариант 4

На первом уровне иерархии: Общий вклад в развитие

На втором уровне – Железо (Ж), медь (М), фосфаты (Ф).

На третьем уровне: Величина ресурса (ВР), Стоимость добычи (СД), Риск (Р).

Определить веса элементов третьего уровня.

Вариант 5

На первом уровне иерархии: Влияние в мире

На втором уровне – Людские ресурсы (ЛР), Благосостояние (Б), Технология (Т), Военная мощь (ВМ).

На третьем уровне: США, СССР, Китай.

Вариант 6

Аттестация преподавателей в высшей школе.

Первый уровень – Аттестация.

Второй уровень – Исследовательская работа (ИР), Преподавание (П).

Третий уровень (Исследовательская работа) – Качество (К), Разнообразие (Р), Количество научных трудов (НТ), важность работы (ВР). Третий уровень (Преподавание) – Доходчивость (Д), Требовательность (Т), Правдивость (ПР).

Вариант 7

Переправа через реку

Первый уровень – Выгоды переправы через реку.

Второй уровень – Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третьий уровень – относятся к экономическим: Время (В), Доход (Д), Торговля (Т).

К социальным: Безопасность (Б), Связи (СВ). К окружающей среде – комфорт (КО), Доступность (ДС).

Четвертый уровень – Мост (М), Туннель (ТУ), существующий паром (П).

Вариант 8

Переправа через реку (2-я часть)

Первый уровень – издержки пересечения реки.

Второй уровень – Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третий уровень – относятся к экономическим: Капиталовложения (К), Эксплуатация и текущий ремонт (ЭТР), Прекращение паромного бизнеса (ППБ).

К социальным: Изменение стиля жизни (ИСЖ), Раскол людей (РЛ). К окружающей среде – Загазованность (З), Загрязнение воды (ЗВ).

Вариант 9

Первый уровень – Качество жизни городского населения.

Второй уровень – Уровень жизни (УР), Условия жизни (УС).

Третий уровень – К уровню жизни относятся: Доходы населения (Дх), Социальное обеспечение (СО), Жилищные условия (Жу), Образование (Об), Здравоохранение (Зд); к Условиям жизни: Здравоохранение (Зд), Санитарные условия (Су), Условия для проведения досуга (Уд), Состояние транспорта (Тр), Экология (Эк), Психологическое состояние населения (Пх).

Вариант 10

На первом уровне– благосостояние страны.

Второй уровень–Сильная экономика (Э), Благосостояние (Б), Национальная оборона (НО).

Третий уровень – Тяжелая промышленность (ТП), Легкая промышленность (ЛП), Сельское хозяйство (СХ).

Определить веса отраслей промышленности по влиянии. На благосостояние этой страны.

4. Оптимальный объем заказа

Основной вопрос управления запасами заключается в определении товарного запаса на складе, чтобы минимизировать издержки по управлению запасами и обеспечить достойный уровень обслуживания клиента? Он разделяется на две части:

Как сделать издержки управления запасами минимальными при заданном (постоянном или непостоянном, но известном) спросе?

Как оценить риск возникновения дефицита на складе с учетом случайных вариаций реального спроса? Сколько нужно платить за содержание необходимого резервного запаса для того, чтобы снизить риск возникновения дефицита до приемлемого уровня и обеспечить достойный уровень обслуживания клиентов?

Основная идея теории оптимального управления запасами состоит в том, чтобы разделить издержки на переменные и постоянные. Оказывается, что эти две группы издержек по-разному зависят от размера заказа и уровня запаса товара на складе.

Переменные издержки- издержки хранения. Данные издержки должны быть прямо пропорциональны количеству единиц хранимых запасов и стоимости единицы запаса. Основную часть этих издержек составляют упущенные возможности при альтернативном использовании капитала, «замороженного» в запасах. Каждая область бизнеса характеризуется своей требуемой нормой доходности. Капитал, вложенный в этот бизнес, в среднем (по стране, региону, городу) должен давать определенный процент дохода ежегодно. Капитал, вложенный в запасы, такого процента не дает. Следовательно, неполученный процент – это издержка хранения. Если товар приобретен в кредит, то за этот кредит нужно платить проценты, что опять-таки составляет издержки хранения. При цивилизованном ведении бизнеса, товар должен быть застрахован и подлежит налогообложению. Страховка и налог на запас также составляет определенный процент от стоимости товара и также входит в издержки хранения. Перечисленные издержки строго пропорциональны стоимости запасов. Поэтому их удобно задавать в расчете на единицу запаса в год.

Постоянные издержки – издержки по запуску новой партии продукции – (производство) или затраты на формирование и оформление заказа – (торговля). Эти издержки не зависят от величины предполагаемой партии продукции (заказа).

Модель отвечает на вопрос: какой должен быть размер заказа (и как часто его нужно делать) для данного вида товара («артикула»), что минимизировать издержки его хранения, при условии, что

– спрос на запас постоянен (не зависит от времени) и составляет D единиц в год;

– закупочная цена единицы запаса постоянна (не зависит от размера закупаемой партии) и равна С;

– издержки хранения единицы запаса в год равны H (или h% от стоимости единицы запаса С);

– стоимость оформления одного заказа (или стоимость переналадки оборудования для начала новой партии продукции) равна S.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:

D – годовой спрос

p – цена единицы товара

s – цена хранения единицы товара на складе в год

i – внутренняя норма доходности

Q – объем закупа

K – стоимость размещения заказа

L – время доставки заказа

n – количество заказов в год

EOQ — экономичный размер заказа (economic order quantity)

Издержки на размещение заказа:

Ck=K*n=K*D/Q

Издержки на хранение:

Cs=Q/2*(s p*i)

Минимизируя издержки при переменной Q получаем:

Пример.

Машиностроительный завод покупает болты с гайками для сборочного участка, годовая потребность в которых составляет 50 тыс. штук в год. На данный момент имеется два предложения от разных поставщиков, условия которых приведены в таблице.

Стоимость хранения для завода можно оценить в 35% от стоимости единицы хранения в год. Стоимость оформления одного заказа – 1000 руб. Спрос в течение года на данные болты равномерный.

a. Каков оптимальный размер заказа с учетом скидок каждого из поставщиков.

b. Какого поставщика следует предпочесть?

Решение

Спрос на болты по условию задачи известный и постоянный, следовательно, мы можем без ограничений использовать модель экономичного размера заказа EOQ. При этом все издержки будут определяться полными издержками хранения и заказа за год. Однако имеется система скидок на базовые цены, а это значит, что отклонение от экономичного размера заказа может оказаться выгодным, если полученные скидки превышают рост издержек хранения. Значит к сумме издержек хранения и заказа нужно добавить общие затраты на покупку болтов, чтобы иметь возможность корректно сравнивать разные предложения.

Так как в данной задаче нам необходимо рассчитать оптимальный заказ для шести цен и количественных диапазонов (2 поставщика и 3 диапазона действия цен у каждого) организуем данные, как показано в таблице (Рис. 2). В верхних ячейках A2:C2 запишем общие данные: издержки хранения, издержки заказа и годовую потребность. В строках B4:G4 и B5:G5 запишем верхние и нижние границы диапазонов скидок. Число 1 млн. в ячейках D4 и G4 заменяет бесконечную границу диапазона и выбрано произвольно, для упрощения формул.

Для расчета экономичного размера заказа используем стандартную формулу

В нашей задаче величина S непостоянна, так как она зависит от цены товара, а цена может быть разной. Поэтому в расчетах вместо самой величины K будем использовать ее выражение через цену и издержку хранения в процентах i: S=p*i. С этой поправкой формула для EOQ и записана в ячейке B7. Ссылки на издержки хранения i, годовую потребность D и издержки заказа K фиксированы, для удобства протягивания формулы вправо, для расчета EOQ для других цен закупки. После протягивания формулы получаем следующий результат (Рис. 3)

Рис. 3

Если мы теперь сравним полученные значения EOQ с диапазонами количеств закупаемых болтов, для которых действуют те цены, по которым мы считали EOQ, то обнаружим несколько несоответствий. Например, при покупке болтов у поставщика A по цене 5 руб. за штуку оптимальная величина заказа равна примерно 7559 штук. Но такая цена действует только при покупке менее 5000 штук. Если мы будем закупать болты партиями по 7559 штук, то их цена будет только 4.6 руб. Это конечно неплохо, но мы ведь хотели выяснить, какую партию болтов лучше всего выбрать, если покупать их по цене 5 руб.!

Ясно, что выбирать размер партии мы должны только внутри диапазона от 1 до 5000 штук. Какой же размер выбрать? Здесь нужно вспомнить, как выглядит график зависимости суммы издержек хранения и заказа от размера заказа. А именно, график этот показывает гладкую функцию без перегибов с одним минимумом. Это значит, что чем ближе размер заказа к EOQ, тем меньше издержки и наоборот. Следовательно, в тех случаях, когда мы не можем выбрать размер заказа равным EOQ, мы должны взять реально возможную величину заказа, наиболее близкую к экономичному размеру заказа.

В случае с покупкой болтов по цене 5 руб. – это верхняя граница диапазона, т.е. 4999 штук.

Поэтому в таблицу (Рис. 2) кроме строки для расчета EOQ добавлена строка “Реальный EOQ” – реальный размер заказа. В этой строке мы будем записывать тот размер заказа, который выбираем на самом деле. Конечно, в жизни мы можем выбирать реальный размер заказа отличным от теоретически оптимального не только из-за диапазонов действия цен. Скажем, во втором столбце, EOQ равен 7881,1 и попадает в диапазон действия цены 4.6 руб. – от 5000 до 19999. Но не можем же мы заказать дробное число болтов. Значит, как минимум надо выбрать реальный размер заказа, как округленное до целых значений EOQ. Кроме того, часто бывает, что штучный товар фасуется в

стандартную тару. В этом случае нужно заказывать партию так, чтобы получалось целое число коробок или ящиков и т.п. Могут быть и другие причины, заставляющие отклоняться от теоретической величины оптимального заказа. Поэтому не существует никакой стандартной формулы для реального Q.

В сложных случаях реальный Q можно проставить вручную с учетом известных вам условий. А в нашей задаче можно написать и формулу, так как выбор достаточно прост. Такая формула и записана в ячейке B8. Словами действие формулы можно описать следующим образом. Если размер EOQ больше или равен минимально возможной партии и меньше или равен максимально возможной партии, выбираем реальный размер заказа равным EOQ. Если это не так, то если EOQ меньше минимальной партии, выбираем реальный размер заказа равным минимальной партии, а иначе выбираем размер заказа равным максимально возможной партии (т.к. EOQ оказался больше, чем максимальная партия).

Полная величина издержек включает в себя не только T, но и сумму, истраченную на покупку годового запаса болтов. Годовой запас здесь взят потому, что издержки хранения и заказа тоже вычислены в расчете на год.

Все вновь введенные формулы так же, как и формула для EOQ, протягиваются вправо на все шесть ячеек. В результате получаем следующую таблицу (Рис. 4). В последней строке таблицы выведены наименьшие возможные издержки при покупке болтов по каждой из шести предложенных цен. Из этих шести значений издержек наименьшей оказывается 237 875 руб., которая получается при покупке болтов у поставщика B партиями по 10 тыс. штук по цене 4.5 руб. за штуку.

Рис. 4

Из таблицы видно, что покупка болтов по меньшей цене, но более крупными партиями по 20 -30 тыс. штук оказывается чуть дороже, так как предлагаемые скидки полностью съедаются потерями от замораживания капитала при такой политике закупок.

4.2 Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

Книжный магазин расположенный около большого вокзала продает книги различных серий, выпущенные в дешевом издании (клееный блок, мягкая обложка). Книжки одной серии закупаются по одной цене, скажем детектив – 9 руб., любовный роман – 8 руб. и т. д.. Магазин открыт 6 дней в неделю и продает около 16 000 детективов в год. Обычно менеджер делает заказ раз в два месяца, издержки заказа – 3000 руб. Заглянув однажды в учебник по количественным методам в бизнесе, менеджер обнаружил, что, вообще говоря не исключено, что принятый план заказов приносит лишние издержки. Но, хотя он и знал, что доход по рублевым вложениям в регионе составляет не менее 24% в год и, разумеется, имел перед глазами табличку с данными о продажах за последние, по крайней мере, 14 недель:

но так и не смог найти оптимальный план заказов и определить, при каком количестве детективов на складе нужно делать новый заказ, если допустить риск дефицита не более 5%.

Не могли бы Вы ему помочь?

Какую сумму могли бы Вы в этом случае запросить за эту услугу?

P.S. Кстати, если Вам вдруг понадобится, время исполнения заказа 5 дней.

Вариант 2

Книжный магазин расположенный около большого вокзала продает книги различных серий, выпущенные в дешевом издании (клееный блок, мягкая обложка). Книжки одной серии закупаются по одной цене, скажем детектив – 11 руб., любовный роман – 8 руб. и т. д.. Магазин открыт 6 дней в неделю и продает около 18 000 детективов в год. Обычно менеджер делает заказ раз в два месяца, издержки заказа – 3500 руб. Заглянув однажды в учебник по количественным методам в бизнесе, менеджер обнаружил, что, вообще говоря не исключено, что принятый план заказов приносит лишние издержки. Но, хотя он и знал, что доход по рублевым вложениям в регионе составляет не менее 24% в год и, разумеется, имел перед глазами табличку с данными о продажах за последние, по крайней мере, 14 недель:

но так и не смог найти оптимальный план заказов и определить, при каком количестве детективов на складе нужно делать новый заказ, если допустить риск дефицита не более 5%.

Не могли бы Вы ему помочь?

Какую сумму могли бы Вы в этом случае запросить за эту услугу?

P.S. Кстати, если Вам вдруг понадобится, время исполнения заказа 7 дней.

Вариант 3

Магазин «Кандела», работающий 364 дня в году, продает офисные настольные лампы “Diverger” разных цветов и модификаций (по цене 510 руб. в закупке). Уровень продаж за последние 14 недель составлял:

и, по оценке менеджера, соответствовал обычному среднему спросу на данный товар.

По сложившейся практике магазин заказывает примерно по 1300 ламп в середине каждого месяца. Заказ, издержки по оформлению и доставке которого, составляют 15000 руб, исполняют в течение 20 дней. Менеджер не знает цифры по внутренней норме доходности магазина и считает, что единственным надежным ориентиром для сравнения эффективности вложения денег является доход по срочному вкладу, который составляет в регионе не менее 18% в год. Запас на складе не страхуется и не подлежит налогообложению.

Каковы складские издержки магазина (издержки хранения и заказа в год) при работе с этим товаром? Можно ли, и на сколько снизить эти издержки.

Из маркетинговых соображений менеджер готов допустить риск дефицита не более 2%. Определите, при каком количестве ламп на складе следует делать новый заказ в этом случае.

Вариант 4

Магазин «Свет», работающий 364 дня в году, продает офисные настольные лампы “Dark moon” оригинальных расцветок, различных модификаций, закупаемые оптом по цене 570 руб. Уровень продаж за последние 14 недель составлял:

и, по оценке менеджера, соответствовал обычному среднему спросу на данный товар.

По сложившейся практике магазин заказывает примерно по 1700 ламп в середине каждого месяца. Заказ, издержки по оформлению и доставке которого, составляют 16500 руб., исполняют в течение 18 дней. Менеджер не знает цифры по внутренней норме доходности магазина и считает, что единственным надежным ориентиром для сравнения эффективности вложения денег является доход по срочному вкладу, который составляет в регионе не менее 18% в год. Запас на складе не страхуется и не подлежит налогообложению.

Каковы складские издержки магазина (издержки хранения и заказа в год) при работе с этим товаром? Можно ли, и на сколько снизить эти издержки.

Из маркетинговых соображений менеджер желает обеспечить риск дефицита не выше 15%. Определите, при каком количестве ламп на складе следует делать новый заказ в этом случае. Сколько стоит создание безопасного резерва в этом случае?

Вариант 5

Книжный магазин расположенный около большого вокзала продает книги различных серий, выпущенные в дешевом издании (клееный блок, мягкая обложка). Книжки одной серии закупаются по одной цене, скажем детектив – 9 руб., любовный роман – 8 руб. и т. д.. Магазин открыт 6 дней в неделю и продает около 21 000 любовных романов в год. Обычно менеджер делает заказ раз в два месяца, издержки заказа – 4000 руб. Заглянув однажды в учебник по количественным методам в бизнесе, менеджер обнаружил, что вообще говоря не исключено, что принятый план заказов приносит лишние издержки. Но, хотя он и знал, что доход по рублевым вложениям в регионе составляет не менее 20% в год и, разумеется, имел перед глазами табличку с данными о продажах за последние, по крайней мере, 13 недель:

но так и не смог найти оптимальный план заказов и определить, при каком количестве любовных романов на складе нужно делать новый заказ, если допустить риск дефицита не более 3%.

Не могли бы Вы ему помочь? Какую сумму могли бы Вы в этом случае запросить за эту услугу?

P.S. Кстати, если Вам вдруг понадобится, время исполнения заказа 6 дней.

Вариант 6

Строительная фирма, специализирующаяся на кровельных работах, использует большое количество металло-черепицы (около 20 000 кв. м в год). При небольших закупках, скажем на одну кровлю (~ 150 кв. м ), один метр черепицы стоит 285 руб. При заказе 800 кв. м и более цена 1 кв. м снижается на 18 руб. При крупных заказах свыше 3000 кв. м скидка составляет уже 8% и наконец при заказе партии в 9000 кв. м дилер устанавливает цену в 255 руб. за кв. м, т.к. это количество составляет ровно 1 контейнер и дилеру не приходится самому формировать заказ. Издержки по оформлению заказа и его доставке составляют 18000.

Средний доход по рублевым вкладам в регионе составляет 16%. Учтите, что вследствие некоторых обстоятельств неэкономического характера, перенос запасов на следующий год крайне нежелателен.

Какой план заказов Вы бы предложили в этой ситуации? Каковы были бы издержки в этом случае?

Вариант 7

Магазин использует 12000 бумажных рулонов для чековых аппаратов в год. Каждый новый заказ чистых рулонов стоит 3000, а издержки хранения одного рулона составляют 20% от его стоимости в год. Цена одного рулона равна 27 руб., если размер заказа до 3000 рулонов; 25,5 руб. если размер заказа от 3000 до 5999 рулонов, 23,8 руб., если размер заказа 6000 и выше.

Какой размер заказа минимизирует полные издержки?

Какой размер заказа выбрали бы Вы и как часто Вам пришлось бы делать очередной заказ? Каковы полные издержки в этом случае?

Вариант 8

Пицца-Хат заказывает оливки для пиццы прямо из Италии. Российский дистрибьютор присылает своего агента раз в четыре недели, чтобы сделать новый заказ. Время поставки оливок – 3 недели.

Пицца-Хат использует в среднем 150 банок оливок каждую неделю, при стандартном отклонении 30 банок. Менеджер заведения не может допустить риск возникновения дефицита выше 0.1%.

Предположим, что агент дистрибьютора только что приехал, а в холодильнике – 500 банок оливок. Сколько банок оливок нужно заказать?

Вариант 9

Некоторое сырье можно купить по 3 различным ценам в зависимости от размера заказа.

Меньше 200 кг – 600 руб. за 1 кг.

От 200 кг до 1999 кг – 570 руб. за 1 кг.

Более 2000 кг – 540 руб. за 1 кг.

Годовая потребность – 3000кг. Издержки хранения составляют 25% от стоимости сырья. Стоимость заказа – 1200 руб. Определите оптимальный размер заказа. Какое количество заказов в год будет удобно сделать? Насколько полные издержки в этом случае будут отличаться от оптимальных?

Вариант 10

Секция универсального магазина, торгующая постельным бельем, заказывает спальные комплекты 1 раз в две недели. Время поставки 10 дней. Предыдущий опыт показывает. что спрос на эти комплекты – 5000 в год. Вариация дневного спроса – 5 комплектов. Магазин работает 365 дней в году. Какова величина очередного заказа, если на момент оформления заказа вналичии имеется 150 спальных комплектов? Традиция магазина – не допускать риск возникновения дефицита выше 0.5%.

Вариант 11

Большой отель вынужден заменять 250 телевизоров в год (из-за естественного износа, поломок по вине постояльцев и др. случайностей). Цена хранения одного телевизора на складе 1500 в год. Расходы по оформлению и размещению заказа на складе 1800 за каждый заказ. Предыдущие наблюдения показывают, что число телевизоров, требующих замены за время выполнения заказа распределено нормально со средним значением 8 телевизоров и стандартным отклонением – 2.5 телевизора. Менеджер гостиницы по хозяйственной части готов допустить уровень риска отказа в замене сломанного телевизора новым из-за их отсутствия на складе, не более 5 %. Определить

Оптимальный размер заказа

Уровень запаса к моменту нового заказа и величину резервного запаса.

Вариант 12

Совхоз Чапаевец нуждается в двойном суперфосфате в количестве 200 тонн в год в ближайшие несколько лет. Главный агроном г. Боднарук нашел через Интернет предложение солидной компании, осуществляющей поставки фасованных в полипропиленовые мешки удобрений. Эта компания работает с мелкими и средними потребителями удобрений, при этом для различных объемов поставок действуют различные цены.

Совхоз готов закупать удобрения в течение 6 месяцев в году, когда имеется возможность вносить их в почву. Издержки, связанные с заказом партии и ее поставкой составляют 9000 руб.

Внутренняя норма прибыли совхоза может быть оценена в 70% в год. Один вагон соответствует 50 тоннам. По территории совхоза проходит железнодорожный путь, имеется разгрузочная площадка со складом, так что дополнительные транспортные расходы пренебрежимо малы.

Какой размер заказа минимизирует общие затраты? Каковы они для идеального случая?

Очевидно, что переход запаса на следующий год не выгоден. Поэтому следует выбрать размер заказа так, чтобы в году (точнее в полугодии) было сделано целое число заказов, или вообще выбрать несколько разных по размеру поставок. Подумайте, как подсчитать издержки в этом последнем случае. Решите, какое количество удобрений и в какие сроки следует заказывать, если переход запаса на следующий год не допустим? Подтвердите все свои выводы расчетами.

Вариант 13

Помощник руководителя Дмитрий планирует ежемесячные командировки в компанию Воксель для закупки партий интегральных схем. Такая командировка занимает у Дмитрия около двух дней. Перед выездом в командировку он заказывает по телефону в отделе поставок Воксель нужную ему партию интегральных схем средней стоимостью около 150 рублей/штука. Среднее использование интеграль­ных схем — 56 штук в день (365 дней в году), стандартное отклонение потребности — 14 ИС в день. Требуемый уровень обслужива­ния — 99%.

Сколько изделий он должен заказать, если сейчас у него в запасе есть 230 интегральных схем?

Ка­кой может оказаться максимальная величина его заказа из тех, которые он когда-либо будет делать?

Если Дмитрий каждый раз расходует на командировку около 1600, а издержки хранения для его фирмы можно оценить в 60%, то какая частота заказов на самом деле оптимальна? Определите размер экономии при переходе на эту периодичность. Как изменится при таком изменении графика поставок безопасный резерв?

Вариант 14

Бар и ресторан Доброго Бена ежегодно используют 5000 бутылок емкостью в одну кварту импортного вина. Шипучее вино стоит Бену 100 рублей за бутылку и разливается по бокалам только после того, как из него полностью выйдут пузырьки газа. По подсчетам Бена, размещение каждого заказа обходится ему в 400, а затраты на хране­ние составляют 20% от цены покупки. Поставка товара по заказу занимает три недели. Недельная потребность составляет 100 бутылок (каждый год бар и ресторан Доброго Бена закрываются на две недели), стандартное отклонение спроса равняется 20 бутылкам.

Бен хотел бы воспользоваться такой системой управле­ния запасами, которая минимизировала бы стоимость его запасов и удовлетворяла бы 95% его клиентов, зака­зывающих это вино.

Каков экономичный размер заказа в рассматривае­мом нами случае?

При каком уровне запасов следует размещать оче­редной заказ?

Сколько бутылок вина будет не хватать на протяже­нии каждого цикла заказа? В скольких периодах заказа за год дефицита не возникнет вообще?

При каком уровне обслуживания риск дефицита составит 50%?

Вариант 15

Учитывая следующую информацию, сформулируйте систему управления запасами для менеджера отдела логистики Сэма Гронски.

Торговля идет 50 недель в году. Стоимость изделия – 303 руб.

Стоимость Заказа – 7500 руб.

Стандартное отклонение еженедельного спроса -25 в неделю. Ежегодная стоимость хранения – 33 % стоимости изделия

Время исполнения заказа – 1 неделя. Ежегодный спрос – 25 750. Риск дефицита 4% .

Определите оптимальную величину заказа и точку перезаказа.

Определите ежегодные издержки хранения и заказа.

Сравните Ваш план с планом, предполагающим 25 заказов в год.

Нехватку какого количества изделий в цикле заказа для Вашего плана Вы ожидали бы получить?

Если бы цена заказа снижалась на 1500 руб. за заказ для размера заказа больше 5000 ед, Вы воспользовались бы этим преимуществом? Сколько Вы экономили бы при этом в год по сравнению с прежней тактикой?

Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по трем основным признакам.

1. Популяция потенциальных клиентов (или «резервуар» из которого приходят заявки) и характеристики входного потока.

1.1 Популяция может быть бесконечной или конечной.

- Бесконечной популяцию можно считать в том случае, если ее размер намного больше любого мыслимого размера очереди, который может возникнуть в данной СМО. При этом, интенсивность входного потока заявок не будет зависеть от того, сколько их уже поступило в систему.

– Конечной мы будем называть такую популяцию, размер которой сравним с длиной очереди, образующейся в системе. Если, например, наладчик обслуживает 10 станков в цехе, и каждый станок останавливается и требует обслуживания в среднем 1 раз в час, то суммарный ожидаемый поток заявок будет 10 заявок в час. Если, однако, один станок (два или три станка) остановились, и наладчик занимается его обслуживанием, то ожидаемый суммарный поток новых заявок будет лишь 9 заявок в час (8 или 7), до тех пор пока остановившиеся станки опять на заработают. Именно поэтому для конечной популяции в качестве основной характеристики входного потока рассматривается не интенсивность потока заявок от всей популяции (как в случае бесконечной популяции), а интенсивность потока заявок от каждого члена популяции (которая остается постоянной независимо от размера очереди).

1.2 Входной поток может быть подразделен на два вида:

- Пуассоновский

- Не пуассоновский

2. Свойства самой очереди.

2.1 Размер очереди

– Неограниченный.

– Ограниченный. Ограничения на размер очереди могут быть обусловлены технологическими причинами. Например, автоматическая телефонная станция не может удержать в очереди больше 10 звонков. Если в то время, когда 10 клиентов ждут ответа оператора, позвонил 11-ый клиент, он услышит короткие гудки – «занято». Система отказала ему в обслуживании. Иногда можно использовать модель ограниченной очереди для описания психологических особенностей клиентов. Если исследования поведения ваших клиентов показывают, что они редко становятся в очередь, если в ней уже стоит, скажем, 5 человек, то приблизительно можно описать вашу СМО как систему с отказами, в которой не может находиться более 5 клиентов.

2.2 Дисциплина очереди

– Первый пришел – первым обслужен (в российской терминологии – «живая очередь)

– Наличие заявок с приоритетом (примеры из российской практики: зрители с биноклями образуют отдельную очередь в театральном гардеробе, ветераны и беременные женщины – без очереди и пр., данный случай не может быть описан в рамках этой теории)

– Очередь с нетерпеливыми заявками (после некоторого критического времени ожидания определенная доля заявок уходит, не дождавшись обслуживания, данный случай не может быть описан в рамках этой теории).

Мы будем рассматривать модели теории очередей только для простейшей дисциплины очереди «Первый пришел – первым обслужен».

3 Свойства каналов обслуживания

3.1 Число каналов

- Один канал

- Несколько каналов

3.2 Пропускная способность каналов

- Одинаковая

- Различная

3.3 Частотное распределение времени обслуживание

- Экспоненциальное распределение

- Произвольное распределение

Мы будем рассматривать только модели с абсолютно одинаковыми каналами обслуживания, случайное время обслуживания в которых распределено экспоненциально. В большинстве случаев, плотность распределения времени обслуживания характеризуется кривой с максимумом так, что существует наиболее вероятное время обслуживания, а вероятности того, что на обслуживание будет затрачено очень маленькое или очень большое время, понижены. Однако, за исключением самого простого случая неограниченной очереди с одним каналом обслуживания, получить в конечной форме решения для моделей СМО с иным, кроме экспоненциального, распределением для времени обслуживания не удается. В тех случаях, когда невозможно использование конечных формул теории очередей, всегда есть возможность провести компьютерное моделирование системы массового обслуживания и, путем усреднения по многим реализациям случайного процесса, получить все необходимые характеристики ее работы.

Теория очередей предполагает, что входной поток клиентов (или заявок на обслуживание) описывается вероятностной моделью, которая называется простейшим или пуассоновским потоком. Чтобы быть пуассоновским потоком, входной поток заявок должен обладать тремя свойствами. Он должен быть:

 ординарным,

 стационарным,

 без памяти.

Ординарный – это значит, что все заявки поступают в систему по одной, а не группами. Например, если группа студентов в перерыв между парами устремляется в буфет, свойство ординарности потока нарушается, и правильно описать такую ситуацию теория очередей не сможет.

Свойство стационарности означает неизменность потока во времени. Требование стационарности не означает, разумеется, что в каждый час, минуту или день в систему приходит одинаковое число заявок. Теория очередей рассматривает входной поток как случайный, т.е. если взять два последовательных и равных промежутка времени, то в систему будет приходить разное (случайное) число заявок. Однако среднее число заявок, взятое по большому числу реализаций случайного процесса, в каждом равном промежутке времени будет одно и то же. Если, например, наблюдая некоторую столовую изо дня в день, мы обнаружим, что входной поток клиентов (а с ним и очередь) нарастает с момента открытия в 10 часов утра и достигает максимума в «часы пик» от 13 до 14, а затем идет на убыль, то свойство стационарности не выполняется.

Свойство отсутствие памяти означает, что вероятность поступления в систему очередной заявки в следующий час или минуту, совершенно не зависит от того, сколько времени прошло с момента поступления предыдущей заявки. Заявки поступают в систему независимо друг от друга, и очередная заявка «не знает» (и потому «не может помнить») когда пришла предыдущая. Если вы ждете троллейбус на остановке уже 15 минут (а на табличке написано, что средний промежуток времени между ними составляет 5 минут), то, вместе со все возрастающим чувством досады, растет и вероятность того, что он все-таки придет в следующую минуту. В движении троллейбусов есть следы расписания. Хотя из-за случайных вариаций во времени обработки на предыдущих производственных этапах, детали на конвейер могут поступать в случайные моменты времени, «память» (или «следы расписания») в этом потоке, несомненно, присутствует. Применение формул теории очередей к таким процессам (по крайней мере, без всяких поправочных коэффициентов)

неправомерно. А вот для потоков клиентов или заявок в системы массового обслуживания отсутствие памяти это очень характерное свойство. Неважно, когда поступила предыдущая заявка, вероятность ∆P того, что новая заявка поступит в следующий промежуток времени ∆t, будет равна

где – это интенсивность входного потока заявок, т.е. среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Это равенство будет выполняться тем точнее, чем меньше выбранный промежуток времени, при условии, что .

Пусть P(t) – это вероятность того, что за время t в систему не поступит ни одной заявки, а P(t ∆t) – вероятность того, что и за время t ∆t ни одной заявки в систему не придет. Тогда очевидно, что между двумя вероятностями существует следующая связь:

, (2)

т.е. вероятность того, что заявка не поступит в систему за время t ∆t есть произведение вероятностей двух независимых событий: 1) заявка не поступила в сиcтему за время t и

2) заявка не поступила в систему за следующий малый промежуток времени ∆t.

Если раскрыть скобки, можно получить следующее дифференциальное

уравнение:

(3)

Для читателей, знакомых с элементами дифференциального и интегрального исчисления, из (3) нетрудно получить, что выражение для вероятности того, что за время t в систему не поступит ни одной заявки:

, (4)

а вероятность того, что за время t в систему поступит хотя бы одна заявка, будет, очевидно, выражаться формулой:

(5)

Из формулы (5) следует, что частотное распределение для промежутка времени между последовательными заявками, поступившими в систему, будет экспоненциальным распределением.

5.2. Расчеты характеристик СМО с помощью теории очередей.

Введем стандартные обозначения:

S – число серверов (каналов обслуживания)

– средняя скорость прибытия (интенсивность входного потока

заявок)

– средняя скорость обслуживания для каждого сервера.

K – максимальное количество клиентов, которые могут находится в системе (или число членов конечной популяции)

 – стандартное отклонение времени обслуживания

– средняя длина очереди (число ждущих, но не обслуживаемых клиентов)

– среднее число клиентов в системе

– среднее время ожидания в очереди

– среднее время пребывания клиента в системе (ожидание плюс обслуживание)

– коэффициент утилизации (процент загрузки) любого из серверов системы

– вероятность отсутствия клиентов в системе

– вероятность того, что в системе ровно n клиентов

Будем рассматривать модели очередей. Модель M/M/S– это модель неограниченной очереди, заявки в которую поступают из бесконечной популяции, поток заявок – пуассоновский, распределение времени обслуживания – экспоненциальное, в системе S серверов (каналов обслуживания). Первая буква М обозначает Марковский процесс для входного потока заявок (синоним пуассоновского потока). Вторая буква М обозначает, что и поток обслуженных заявок описывается Марковским процессом (время обслуживания распределено экспоненциально). Буква S обозначает, что в системе S каналов обслуживания.

Модель M/M/1 –частный случай модели M/M/S,где число серверов S=1

Ниже, в таблице приведены формулы для расчета основных характеристик СМО.

Для простейшей модели неограниченной очереди с одним сервером, известны конечные формулы для средних характеристик очереди и в случае произвольного распределения вероятностей для времени обслуживания. Эти модели обозначаются как М/D/1– для случая пуассоновского входного потока, но постоянного времени обслуживания и М/G/1для произвольного распределения вероятностей времени обслуживания.

Пример решения задачи

Банк планирует открыть банкомат для получения денег, не выходя из машины. Оценки показывают, что поток клиентов в рабочие дни – 15 машин/ в час. Банкомат тратит на обслуживание клиента в среднем 3 минуты. Предполагая пуассоновский поток заявок и экспоненциальное распределение для времени обслуживания найти:

a. Долю времени, когда банкомат загружен;

b. Долю времени, когда он бездействует;

c. Среднее число машин у банкомата;

d. Среднее число машин в очереди у банкомата;

e. Среднее время, затрачиваемое клиентом для получения денег;

f. Среднее время, которое клиент проводит в очереди;

g. С какой вероятностью возле банкомата будут стоять более 3 машин.

2. Предположите, что время обслуживания клиента распределено нормально со средним значением 3 мин и стандартным отклонением:

h. 3 мин,

i. 1 мин,

j. 0 мин, ( постоянное время обслуживания).

Определите, как изменятся характеристики системы.

3. Поскольку банкомат будет расположен на оживленной улице, не более трех машин могут стоять возле него. Если три машины стоят у банкомата, остальным негде остановиться, и они проезжают мимо.

k. Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае?

l. Каковы характеристики СМО в этом случае?

4. Пусть банк решил поставить два банкомата рядом так, что машина может подъехать к любому свободному. При этом m. Жесткое ограничение на длину очереди снято, но крайне желательно, чтобы у банкоматов было не больше 3 машин. Какова вероятность, что в очереди действительно будет не более 3 машин. Как изменятся характеристики СМО?

n. Жесткое ограничение на количество машин у банкомата сохранено. Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае? Каковы характеристики СМО в этом случае?

Решение задачи.

Формулы для расчетов характеристик систем массового обслуживания в основном довольно громоздкие и, что хуже всего, их часто даже в Excel невозможно использовать, введя один раз, для расчета систем массового обслуживания просто меняя параметры λ, μ и проч.

Сначала определим модель системы массового обслуживания, применимую для данного случая. Наиболее важные обстоятельства в этом случае – наличие небольшой популяции клиентов или ограничения на размер очереди. Так как никаких упоминаний о подобных ограничениях в задаче нет, считаем, что имеем дело с моделью неограниченной очереди. Кроме того, речь идет только об одном банкомате, т.о. в системе имеется только один сервер. Поток клиентов λ, прибывающих на вход в систему, равен 15 машинам в час. Кроме этого известно, что на обслуживание клиента в среднем тратится 3 минуты. Это означает, что за час в среднем обслуживается 20 клиентов, т.е. поток обслуживания μ равен 20 машин в час. По формулам для модели М/М/1 можно убедиться, что все необходимые для расчета данные у нас есть.

Решать данную задачу мы будем с помощью надстройки для Excel, (разработанную Зайцевым М.Г. и Варюхиным С.Е.).

Вызываем надстройку «Расчет параметров СМО», появляется следующее диалоговое окно (Рис. 1).

Рис.1

В диалоговом окне надстройки имеется три вкладки: неограниченная очередь, ограниченная очередь и ограниченная популяция. Так как решили, что данная задача решается в модели неограниченной очереди, останемся на вкладке, открытой по умолчанию. Щелкнем левой кнопкой мыши в окне λ – интенсивность потока заявок, и введем значение 15. Далее, переходя к остальным двум окнам ввода, задаем значение интенсивности потока обслуживания μ = 20 и количество серверов S = 1. В задаче оговорено, что время обслуживания распределено экспоненциально, поэтому мы оставим без изменения включенную по умолчанию кнопку Вид распределения – Экспоненциальное. Нажимаем кнопку «Выполнить» и в активную книгу Excel (книгу, с которой вы работаете в момент вызова надстройки), добавится новый лист с результатами расчета. На рисунке (Рис. 2) показан вид нового листа.

Рис. 2

В заголовке указана использованная модель – неограниченная очередь, один сервер, экспоненциальное распределение времени обслуживания. С левой стороны приведены значения параметров очереди, которые мы задали: λ, μ и S. Кроме этого, приведено и вычисленное значение стандартного отклонения для экспоненциального распределения времени обслуживания, которое равно 1/μ. В правом столбце результат расчета, из которого можем почерпнуть информацию для ответов на вопросы первой части задачи.

Доля времени, когда банкомат загружен равна проценту загрузки каждого (в нашем случае единственного) сервера, т.е 75% всего времени работы. Разумеется, это средняя оценка, которую можно было бы сделать по многим наблюдениям за системой.

Доля времени, когда банкомат бездействует, равна времени, когда все серверы свободны – 25% рабочего времени.

Среднее число машин у банкомата соответствует числу клиентов в системе – 3 клиента. В это число входит и та машина, которая стоит у банкомата и те, которые ждут своей очереди на подъездной дорожке. Средняя длина очереди – 2.25 клиента – показывает среднее число машин в очереди у банкомата.

В среднее время, затрачиваемое клиентом для получения денег, входит и время, затраченное на ожидание в очереди, и время, которое клиент тратит на ввод информации в банкомат и ожидание транзакции (3 минуты в среднем), т.е. это полное время пребывания в системе. Это время приводится в таблице в тех же единицах, для которых задан поток – в часах. Следовательно, это время равно 0.2 часа или 12 минут.

Среднее время, которое клиент проводит в очереди равно 0.15 часа или 9 минут.

В нижней части таблицы приведены вероятности нахождения в системе заданного числа клиентов (от 1 до 29, но часть строк скрыта для экономии места). Вероятность того, что у банкомата будет стоять не более 3 машин, т.е либо ни одной (% времени, когда все серверы свободны), либо одна, либо две, либо три машины можно легко найти, сложив соответствующие вероятности: Pn<=3 = 0.25000 0.18750 0.14063 0.10547 = 0.68359 (~ 68%). После этого можно определить и вероятность того, что в очереди будет более трех машин Pn>3, как 1 – Pn<=3. Pn>3= 0.31641 (~32%). Очевидно, что другой возможный путь – суммирование всех вероятностей для n>3 – гораздо менее удобен, но тоже применим, особенно если эти вероятности быстро падают до нуля. В данной задаче это не так, потому что даже вероятность того, что в системе n=29 клиентов отлична от нуля.

Во второй части задачи нам предлагается оценить параметры модели и ответить на те же вопросы, в условиях, когда время обслуживания распределено нормально с заданным стандартным отклонением. Мы можем сделать это, изменив параметры модели.

Вызовем надстройку «Расчет параметров СМО» еще раз. Если вы не закрывали книгу Excel, после того, как провели предыдущий расчет, то при вызове надстройки в ней сохранятся последние введенные данные. Но теперь мы кликнем мышкой отключенную по умолчанию кнопку Вид распределения – Произвольное. При этом вид окна изменится (Рис. 3)

Рис. 3

В появившемся окне σ можно задать стандартное отклонение времени обслуживания. Нужно только снова перевести его в те же единицы времени, для которых рассчитаны потоки – в часы. Итак: При стандартном отклонении 3 минуты и среднем значении времени обслуживания те же 3 минуты мы получаем, что и среднее время обслуживания и стандартное отклонение равны 0.05 часа. Записываем это значение в окне σ и вновь нажимаем кнопку Выполнить. В новом листе будут записаны следующие данные (Рис. 4).

Рис.4

Как мы видим, все числа в столбце E8:E13 в точности совпадают с результатами предыдущего расчета характеристик системы массового обслуживания (Рис. 2).

Обратите внимание на значение σ в предыдущем расчете – оно также равно 0.05. Понятно, что сделанный только что расчет для распределения произвольного вида обязан не противоречить расчету, в котором вид распределения задан явно, если стандартное отклонение в обоих случаях совпадает. В последнем расчете отсутствуют значения вероятности наличия в очереди 1-го, 2-х, 3-х и т.д. клиентов, т.к. эти величины можно рассчитать только для экспоненциального распределения времени обслуживания. Если бы мы смоделировали СМО с характеристиками, заданными в пункте h, то обнаружили бы, что разный вид распределения времени обслуживания приводит к различным значениям вероятностей P1, P2, P3 и так далее. Но по формулам это рассчитать невозможно (кроме случая с экспоненциальным распределением). Поэтому надстройка выдает характеристики, зависящие от стандартного отклонения σ, но не зависящие от вида распределения. Остается убедиться в том, что надстройка выдает и результаты, которые невозможно получить при экспоненциальном распределении времени обслуживания.

Для этого зададим стандартное отклонение σ, равное 1 мин. Так как 1 мин составляет 1/60 часть часа, то теперь в окне σ нужно задать 1/60 ≈0.016667 и вновь нажать кнопку «Выполнить»

Результат показан на следующем рисунке (Рис. 5).

Рис. 5

В целом, полученные данные свидетельствуют о том, что характеристики СМО улучшились. Уменьшилась длина очереди с 2.25 клиента до 1.25 клиента и уменьшились время пребывания в системе и в очереди. Значение коэффициента утилизации (процент загрузки сервера) при этом не изменяется, так как оно не зависит от σ.

Теперь зададим стандартное отклонение, равное 0 минут. При этом σ = 0, т.е. время обслуживания постоянно и в точности равно 3 мин. Можно ожидать, что в этом случае характеристики очереди еще улучшатся. И в самом деле, как мы видим на рисунке (Рис. 6), время пребывания в очереди снова уменьшилось.

Рис. 6

В третьей части задания речь идет о новом типе системы массового обслуживания – системе с ограниченной очередью. До этого момента мы использовали для расчетов вкладку Неограниченная очередь, Теперь, щелкнув по ярлыку вкладки Ограниченная очередь перейдем к новой панели надстройки (Рис.7). Здесь к трем параметрам, аналогичным параметрам модели неограниченной очереди, добавляется еще один – максимальное количество клиентов в системе. (Иногда этот параметр называют максимальная длина очереди, но в этом случае он равен K-S, т.е. максимальное количество клиентов в системе минус число серверов. Это отличие следует учитывать при пользовании другими способами расчета характеристик СМО.)

По условию задачи у банкомата не может стоять более 3-х машин, т.е. максимальное количество клиентов в системе – 3. Априори ясно, что при одном банкомате-сервере максимальная длина очереди не может превышать 2 машины.

Рис. 7

На следующем рисунке (Рис. 8) показаны результаты расчета. Вверху листа кратко охарактеризована использованная модель – ограниченная очередь, один сервер. Сравнение характеристик СМО из столбца E8:E13 с результатами, полученными ранее, показывают, что качество системы вроде бы снова улучшилось, даже по сравнению со случаем постоянного времени обслуживания. Однако это улучшение не является безусловным.

Рис. 8

Не зря в этом вопросе задачи говорится о количестве потерянных клиентов. Ведь как только из-за случайных колебаний потока клиентов и потока обслуживания очередь у банкомата достигнет двух машин ( одна под обслуживанием), все новые потенциальные клиенты вынуждены будут проезжать мимо до тех пор, пока очередь не уменьшится до одной машины. Следовательно, улучшение характеристик СМО произошло фактически за счет потери части клиентов. В данном случае потерянные клиенты – потерянные деньги и у владельца банкомата есть все основания не слишком радоваться характеристикам своей СМО. Впрочем, в данном случае у нас нет информации об экономических характеристиках ситуации – например, прибыли с одного клиента, арендной плате за установку банкомата и изменении этой платы в случае удлинения подъездной дорожки и проч. – так что делать обоснованные экономические выводы мы не можем. Однако можно оценить среднее число потерянных клиентов. Для этого нужно сформулировать, в каких условиях теряется клиент. Мы уже отметили, что клиент теряется тогда, когда очередь у банкомата максимальна и равна 2 машинам. В этом случае общее количество клиентов в системе равно 3.

Посмотрим, чему же равна вероятность такого события. Из результатов расчета (Рис. 8) следует, что P3=0.15429. Т.е. теряется чуть более 15% всех потенциальных клиентов. А общее количество потенциальных клиентов (поток клиентов λ) равно 15 в час. Таким образом, из этих 15 клиентов в среднем 2.31429 клиента будет потеряно, а прибыль получена только от 12.6857 клиентов в час.

То обстоятельство, что часть клиентов теряется, не только приводит к тому, что среднее число клиентов в системе, средняя длина очереди, среднее время пребывания в системе и среднее время пребывания в очереди уменьшаются в сравнении с СМО с неограниченной очередью. Уменьшается и процент загрузки сервера (0.63429 вместо 0.75) и, следовательно, его экономическая эффективность.

В четвертой части задачи используются обе рассмотренные модели СМО, изменяется только количество серверов-банкоматов. Вызовем еще раз надстройку Расчет параметров СМО, вернемся на первую вкладку Неограниченная очередь и изменим количество серверов до 2. Если по ходу решения задачи вы не закрывали Excel, то на вкладке должны были сохраниться последние установки – произвольное распределение времени обслуживания со стандартным отклонением 0. Как только вы измените количество серверов на 2, вид распределения времени обслуживания автоматически изменится на экспоненциальное и окно выбора значения стандартного отклонения закроется. Это связано с тем, что формулы для расчета характеристик СМО при произвольном распределении времени обслуживания существуют только для случая, когда в системе один сервер. Если серверов больше, установить характеристики СМО можно только прямым моделированием.

Результат расчета приведен на Рис. 9.

Очевидно, что характеристики системы улучшились. Среднее время пребывания в очереди стало меньше полуминуты (0.008 часа). Оценим теперь вероятность того, что в системе будет более 3 клиентов. Сумма вероятностей отсутствия клиентов в системе (0.45454), одного клиента в системе (0.34091 ), двух и трех клиентов в системе (0.12784 и 0.04794) равна 0.97124. Следовательно, только 2,88% случаев количество машин у банкоматов будет превышать 3. Это, судя по всему, вполне удовлетворяет критерию «крайне нежелательно». При этом все же вполне вероятно, что в системе будет 5, 6, 7 и более клиентов. Нетрудно подсчитать, что примерно в течение 1 минуты за две недели в системе может быть даже 10 клиентов.

Рис. 9

Для ответа на последний вопрос задачи вернемся еще раз на вкладку Ограниченная очередь и изменим количество серверов. Как показывает Рис. 10, в сравнении с предыдущим расчетом (пункт m) процент загрузки серверов немного упал (0.35649 против 0.375).

Рис. 10

Это вызвано, очевидно, потерей некоторой части клиентов. Сравнивая числа в ячейках E18 на Рис. 8 и Рис. 10, мы можем видеть, что при переходе от одного банкомата к двум доля потерянных клиентов снижается более чем в 3 раза и становится чуть меньшей 5%. Но все же часть клиентов все равно теряется (примерно 0.74 клиента в час) и процент загрузки серверов падает.

5.3. Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

Автоматическая телефонная система заказа билетов может поставить в очередь максимум 3-х клиентов. Оператор тратит в среднем на принятие заказа по телефону 4 мин. Звонки поступают в среднем 1 раз в 5 мин. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками – экспоненциальное.

a. Определите среднее число звонков, ждущих ответа оператора.

b. Каково среднее время ожидания ответа?

c. Какова вероятность того, что позвонивший клиент должен будет ждать.

d. Найдите процент звонков, которым будет отказано в постановке в очередь на ожидание ответа

Вариант 2.

На пропускной таможенный пункт на границе прибывает в среднем 6 грузовых машин в час (пуассоновский поток). Работает три бригады квалифицированных таможенников, каждая из которых может осмотреть машину в среднем за 20 мин (распределение экспоненциальное).

a. Какова средняя длина очереди?

b. Сколько в среднем каждая машина тратит на проезд через таможенный

пункт?

c. Сколько времени таможенная бригада не занята?

d. Руководство Таможенной службы ввело новые правила регистрации грузов, вследствие чего среднее время досмотра увеличилось до 38 мин. Как изменится время проезда через пропускной пункт, если невозможно увеличить кадровый состав таможенного пункта больше чем на 1 бригаду.

e. Какова вероятность того, что в очереди в этом случае будут стоять не менее 10-и машин? … 20-и машин?

Вариант 3.

В цехе находится большое количество автоматических станков. В среднем 1 раз в 2 часа один из станков останавливается и требует замены деталей, (случайные моменты остановки распределены в соответствие с распределением Пуассона). Когда происходит остановка станка, техник диагностирует причины остановки и производит замену необходимой детали. Среднее время нахождения неисправности и нахождения и установки нужной детали– 30 мин. (это время распределено экспоненциально). Оплата техника составляет $30 в час. Простой оборудования – $400 в час.

Определите:

a. Среднее число машин, находящихся в ремонте?

b. Среднее время простоя остановившейся машины?

c. Каково должно быть оптимальное число техников в цехе?

Вариант 4.

Клиенты входят в приемную в среднем по шесть в час. Отделение укомплектовано одним служащим, который тратит на работу с клиентом около шести минут. Предположите, что прибытие клиентов соответствует Пуассоновскому потоку, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.

a. Как случайный наблюдатель, сколько людей Вы ожидали бы видеть в приемной (исключая самого клерка)? Как долго клиент будет находиться в приемной?

b. Каков коэффициент использования рабочего времени клерка?

c. Какова вероятность того, что более двух клиентов будут находиться в

приемной?

d. Другой такой же клерк нанят для той же работы. Как долго клиент будет проводить в приемной теперь?

Вариант 5.

Ресторан «Ешь вволю» (плати 500 рублей и ешь, что хочешь хоть целый день) имеет две кассы для продажи входных билетов с двух разных сторон заведения. Наблюдения показывают, что в воскресный день к каждому из входов прибывает посетитель примерно один раз в шесть минут. Входное обслуживание каждого клиента занимает в среднем 4 минуты.

a. Сколько процентов времени каждая из касс свободна? Какова вероятность, что обе кассы свободны?

b. Сколько в среднем посетителей ждут обслуживания в каждой очереди? Сколько в среднем времени каждый посетитель вынужден ожидать в очереди?

c. Ресторан рассматривает вариант объединения двух касс при одном единственном входе в ресторан. Кассы будут работать с той же скоростью. Каковы будут характеристики такой системы обслуживания? Стоит ли провести такую реорганизацию?

Вариант 6

Магазин успешно торгует по каталогам, и клерк принимает заказы по телефону. Если он занимает линию, автоответчик предлагает клиенту подождать. Как только клерк освобождается, заказы, которые ждали дольше, обслуживаются первыми. Заказы приходят со скоростью 12 в час. Клерк способен обслужить один заказ в среднем за 4 мин. Звонки поступают по закону Пуассона, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону. Клерк получает 150 рублей в час, но потери продаж оцениваются в 750 рублей за час ожидания в очереди.

a. Какое среднее время должен ждать клиент в очереди, прежде чем ему

ответит клерк?

b. Каково среднее число заказчиков в очереди?

c. Менеджер решил добавить второго клерка на оформление заказов, его зарплата тоже 150 рублей в час. Нужен ли второй клерк?

d. А третий? Обоснуйте свой ответ.

Вариант 7

На пропускной таможенный пункт на границе прибывает в среднем 5 грузовых машин в час (пуассоновский поток). Работает две бригады квалифицированных таможенников, которые могут осмотреть машину в среднем за 20 мин (распределение экспоненциальное).

a. Какова средняя длина очереди?

b. Сколько в среднем каждая машина тратит на проезд через таможенный пункт?

c. Сколько времени каждая таможенная бригада не занята?

d. Руководство Таможенной службы ввело новые правила регистрации грузов, вследствие чего среднее время досмотра увеличилось до 45 мин. Как изменится время проезда через пропускной пункт, если невозможно увеличить кадровый состав таможенного пункта больше чем на 2 бригады.

e. Какова вероятность того, что в очереди в этом случае будут стоять не менее 11-и машин? … 19-и машин?

Вариант 8.

Бармен может обслужить клиента в среднем за 40 сек. (распределение экспоненциальное). В вечернее время бар практически заполнен и в среднем каждую минуту клиент подходит к стойке. (Бар очень большой).

a. Как долго (в среднем) клиент будет ждать у стойки?

b. Сколько в среднем людей будет толпиться у стойки?

c. Какова вероятность, что 5 и более посетителей будут ждать выпивки?

d. Каков процент времени, когда бармен не занят?